JasperXu's 笔记本
 
发布时间: 2021-01-11 17:00
修订时间: 2021-04-29 12:11

矩阵运算速查

线性代数基础 Linear Algebra

1. 矩阵和向量 Matrices and Vectors

矩阵(Matrix)尺寸:行 x 列。 [abcdef] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{matrix} \right ] 为 3×2 矩阵。

向量(Vector):尺寸为 n×1 的矩阵。

标量(Scalar):单一值。

2. 加法和标量乘法

加法矩阵尺寸必须一致,矩阵中各个位置对应相加。

[abcdef]+[uvwxyz]=[a+ub+vc+wd+xe+yf+z] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{matrix} \right ] + \left[ \begin{matrix} u & v \\ w & x \\ y & z \end{matrix} \right ] = \left[ \begin{matrix} a+u & b+v \\ c+w & d+x \\ e+y & f+z \end{matrix} \right ]

标量乘法,矩阵中的值一一计算即可。

[abcdef]×x=[axbxcxdxexfx] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{matrix} \right ] \times x= \left[ \begin{matrix} ax & bx \\ cx & dx \\ ex & fx \end{matrix} \right ]

3. 矩阵和向量乘法

矩阵和向量的乘法必须满足:Am×nBn×o=Cm×o A_{m \times n} * B_{n \times o} = C_{m \times o}

即:A 的列数必须等于 B 的行数。结果 C 的行数等于 A 的行数,C 的列数等于 B 的列数。

[abcdef]×[wxyz]=[aw+byax+bzcw+dycx+dzew+fyex+fz] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{matrix} \right ] \times \left[ \begin{matrix} w & x \\ y & z \end{matrix} \right ] = \left[ \begin{matrix} aw+by & ax+bz \\ cw+dy & cx+dz \\ ew+fy & ex+fz \end{matrix} \right ]

!!! 矩阵乘法不符合交换律:A×BB×A A \times B \ne B \times A

!!! 符合结合律:(A×B)×C=A×(B×C) \left ( A \times B \right ) \times C = A \times \left ( B \times C \right )

如果符合:A×I=I×A=A A \times I = I \times A = AII 为单位矩阵(identity matrix)

[1][1001][100010001] \left[ \begin{matrix} 1 \end{matrix} \right ] \quad \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right ] \quad \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right ]

4. 翻转和置换 Inverse and Transpose

逆矩阵:不是所有矩阵都存在逆矩阵。$A$的逆矩阵记为 A1A^{-1}

AA1=A1A=I AA^{-1} = A^{-1}A = I

置换:AA的置换矩阵记为 ATA^{T}

A=[abcdef]AT=[acebdf] A = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{matrix} \right ] \quad A^{T} = \left[ \begin{matrix} a & c & e \\ b & d & f \end{matrix} \right ]